“至少在我看来，线性系统其实是对非线性系统的一种‘最优线性近似’。”

“它保留了非线性系统中那些最重要的定性性质，比如稳定性或者不稳定性，也就是动力系统的拓扑性质。”

“根据微分拓扑的理论来分析，光滑流形上的那些可以被线性近似的非线性系统是通有的。”

说罢。

徐云再次拿起纸和笔，慢慢写了起来。

众所周知。

广义的说。

“线性系统”指的是其解满足线性迭加原理的系统，即:

f(x_1+x_2+x_3+)=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+

这个f不能简单地理解为只是一个可以写成显式的函数形式，而应该看做一个映射。

简而言之。

线性系统对应的也就是线性映射。

而在针对常微分方程动力系统的非线性的研究领域里所指的线性系统的形式则往往是这样的：

\frac{dx}{dt}=a\cdot x其中x=[x1，x2，x3，.]t。

而a是一个常数矩阵，则这是一个线性的常微分动力系统。

与之相区别的非线性系统，则是无法写成以上形式的方程组所表征的系统。

比如有些是二阶、三阶、更高阶的系统，或者说形式上矩阵a中的项跟x的各项有关。

当然了。

非线性系统也包含偏微分方程中的非线性系统。

比如可以形成turing pattern的带有扩散项的系统。

但另一方面。

微分拓扑中的科普卡-斯梅尔定理机制保证了一个稠密性的情况：

局部稳定流形在工作点局部线性化之后。

对应的线性系统会具有稳定子空间e